什么是特征值和特征向量
A为一个N阶方阵，为一个向量，为一个值。
满足上述等式，则称为一个特征向量，为一个特征值
注：1、方阵才有特征值、特征向量，非方阵没有
2、特征向量
3、设，则复数范围内，A恰有N个特征值
4、对于每个特征值，都有无穷个特征向量
证：
所以为满足为特征值的一个特征向量，则任意乘以一个非零数k，则任然为 满足为特征值的一个特征向量
所以可以得出， 为特征值时，有无穷个特征向量与其对应，即，
并且，其中的任意两个相加，都为为特征值时的特征向量
5、若为的解，则可以称，为A特向值为0时的特征向量
即
如何求特征值
意味着有非零解
意味着的秩小于n，即不满秩，如果满秩的话，只有是零向量，才有解
不满秩的充要条件，有
向量的行列式为0，则该向量不满秩
最后，由这个方程，解出的值
如何求特征值对应的特征向量
将上述的值，分别代入原方程
可以分别求出其解 ，即为对应的特征向量
特征值和特征向量的一些性质
1、
A矩阵特征值的和，等于A矩阵，主对角线上元素的和，叫做矩阵A的迹
证明：
寻找的系数，则只能在当中进行组合选择
2、
A矩阵特征值的积，等于A的行列式
证明：
令，则等式左端为A的行列式，等式右端，则为A矩阵特征值的积
3、不同特征值的特征向量之间，一定线性无关
证明：
设是A的各不相同的特征向量
是与其对应的任一特征向量
使用数学归纳法
当n=1时，，它自个儿自然是线性无关
当n=s-1时，设线性无关
当n=s时，如果可以证得线性无关，则我们的假设成立
即证明时，只有当k1、k2、k3...ks为0时等式成立
我们将等式左乘矩阵A，因为k是数值可以移到左边去，然后根据的定义
然后我们将等式两边乘上，则可以得到
减去上面的等式
得
这里面已经被消掉了，只剩下
我们已经知道是线性无关的了
就意味着
...
因为是A的各不相同的特征向量，所以k1、k2...ks-1都为零
将k1到ks-1的值代回到
得到
所以ks也为零
我们就解出了这个等式下，k1、k2、k3...ks都为0，这意味着线性无关，所以由数学归纳法可以证明
不同特征值的特征向量之间，一定线性无关
4、A的k重特征值线性无关的特征向量最多有k个
如果为单特征值（就是没有一样的特征向量），那么特征向量就只有1个
5、A矩阵逆的特征值为，且特征向量为
证明：
这不就是定义么
6、A矩阵的伴随矩阵的特征值为，且特征向量为
证明：很简单，
7、kA（A为矩阵）的特征值为， 且特征向量为
证明：很简单
8、的特征值为，且特征向量为
证明：也很简单，跟上面差不多
不断的将A的次方脱下来，可以得到
9、若f(A)是A矩阵的一个多项式函数，那么f(A)的特征值为，且特征向量为
证明：还是依靠定义，其实就跟上述的8一样的操作
10、的特征值还是，但是它的特征向量跟没啥关系
证明：使用求特征值的公式
所以他们的解应该是完全一样的
11、的 特征值还是，特征向量为
证明：
即