2.2 Subspaces
最新推荐文章于 2024-09-09 10:04:28 发布
原创
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本文探讨线性代数中的子空间概念，包括子空间的定义、判定定理、张成空间以及子空间的性质。通过一系列练习题，解释了如何判断向量集是否构成子空间，以及子空间的交集、和集的性质。同时，讨论了函数空间中的子空间，如偶函数和奇函数子空间。
Subspace本身并不是一个很难的概念，就是一个自己也是space的子集合。其检验可以简化为Theorem 1， 即α,β∈W,c∈F⇔cα+β∈W\alpha,\beta \in W,c\in F\Leftrightarrow c\alpha+\beta\in Wα,β∈W,c∈F⇔cα+β∈W， 在很多其他的书中，这个定理用于subspace的定义。Example 6 中给出了一些例子，包括zero subspace，symmetric，Hermitan（self-adjoint）空间等。Example 7 说明homogeneous system的解的集合是一个subspace，并且还推广了一个矩阵的带数乘的分配律，即A(dB+C)=d(AB)+ACA(dB+C)=d(AB)+ACA(dB+C)=d(AB)+AC，当然里面矩阵的乘法要有意义。 从Theorem 2开始，用一个很新的方式看待某一类特殊的subspace，即subspace spanned by S，Theorem 2首先说明，V的任意subspace的交集还是一个subspace，由此可知，包含S的subspace有一个最小的subspace（不断地取S的subspace的交集），并因此将subspace spanned by S定义出来：所有包含S的subspace的交。这一定义的好处是允许S有无限元素（实际上是无限维元素），当S只包含有限个vector时，subspace spanned by S是传统上大家比较熟悉的样子。Theorem 3即阐述了：subspace spanned by S实际上是S中vector所有的linear combination的集合，注意这里同样没有限制S是有限的，这就是这一种subspace定义方式的好处。 接下来有一个新的定义即集合的和或者说subspace的和，实质是每个集合中任取一个vector并相加而组成的集合。如果W1,W2,…,WkW_1,W_2,\dots,W_kW1,W2,…,Wk是VVV的subspace，那么W=W1+W2+⋯+WkW=W_1+W_2+\dots+W_kW=W1+W2+⋯+Wk也是一个subspace（按定义可证），并且W=subspace spanned by W1∪⋯∪WkW=\text{subspace spanned by }W_1\cup\dots \cup W_kW=subspace spanned by W1∪⋯∪Wk，因为采用Theorem 3的类似证法，任意包含W1∪⋯∪WkW_1\cup\dots \cup W_kW1∪⋯∪Wk的subspace都会包含WWW。 最后是几个例子，其中Example 10和11比较精彩。Example 10提出了row-space的概念，其是矩阵的row vectors spanned的subspace，为未来引入矩阵的rank打下基础。Example 11是一个无限维的subspace的例子，并且为第四章介绍多项式打下基础。
Exercises
1. Which of the following sets of vectors α=(a1,…,an)\alpha =(a_1,\dots,a_n)α=(a1,…,an) in RnR^nRn are subspaces of Rn(n≥3)R^n(n\geq3)Rn(n≥3)?
( a ) all α\alphaα such that a1≥0a_1\geq0a1≥0; ( b ) all α\alphaα such that a1+3a2=a3a_1+3a_2=a_3a1+3a2=a3; ( c ) all α\alphaα such that a2=a12a_2=a_1^2a2=a12; ( d ) all α\alphaα such that a1a2=0a_1a_2=0a1a2=0; ( e ) all α\alphaα such that a2a_2a2 is rational. Solution: (a) No, since (1,0,…,0)(1,0,\dots,0)(1,0,…,0) satisfies, but −(1,0,…,0)=(−1,0,…,0)-(1,0,\dots,0)=(-1,0,\dots,0)−(1,0,…,0)=(−1,0,…,0) doesn’t. (b) Yes, for α=(a1,…,an),β=(b1,…,bn)\alpha=(a_1,\dots,a_n ),\beta=(b_1,\dots,b_n)α=(a1,…,an),β=(b1,…,bn), if a1+3a2=a3,b1+3b2=b3a_1+3a_2=a_3,b_1+3b_2=b_3a1+3a2=a3,b1+3b2=b3, then any c∈Rc\in Rc∈R, the vector cα+β=(ca1+b1,…,can+bn)c\alpha+\beta=(ca_1+b_1,\dots,ca_n+b_n)cα+β=(ca1+b1,…,can+bn) has the property (ca1+b1)+3(ca2+b2)=c(a1+3a2)+b1+3b2=ca3+b3(ca_1+b_1 )+3(ca_2+b_2 )=c(a_1+3a_2 )+b_1+3b_2=ca_3+b_3(ca1+b1)+3(ca2+b2)=c(a1+3a2)+b1+3b2=ca3+b3 ( c ) No, since (1,1,…,0)(1,1,\dots,0)(1,1,…,0) satisfies, but 2(1,1,…,0)=(2,2,…,0)2(1,1,\dots,0)=(2,2,\dots,0)2(1,1,…,0)=(2,2,…,0) doesn’t. (d) No, since (1,0,…,0)(1,0,\dots,0)(1,0,…,0) and (0,1,…,0)(0,1,\dots,0)(0,1,…,0) satisfies, but (1,1,…,0)=(1,0,…,0)+(0,1,…,0)(1,1,\dots,0)=(1,0,\dots,0)+(0,1,\dots,0)(1,1,…,0)=(1,0,…,0)+(0,1,…,0) doesn’t. (e) No, since (0,1,…,0)(0,1,\dots,0)(0,1,…,0) satisfies, but 2(0,1,…,0)=(0,2,…,0)\sqrt{2} (0,1,\dots,0)=(0,\sqrt{2},\dots,0)2
(0,1,…,0)=(0,2
,…,0) doesn’t.
2. Let VVV be the (real) vector space of all functions fff from RRR into RRR. Which of the following sets of functions are subspaces of VVV?
( a ) all fff such that f(x2)=f(x)2f(x^2)=f(x)^2f(x2)=f(x)2; ( b ) all fff such that f(0)=f(1)f(0)=f(1)f(0)=f(1); ( c ) all fff such that f(3)=1+f(−5)f(3)=1+f(-5)f(3)=1+f(−5); ( d ) all fff such that f(−1)=0f(-1)=0f(−1)=0; ( e ) all fff which are continuous. Solution: (a) No, consider f(x)=1f(x)=1f(x)=